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3D建模中數學(xué)函數的巧妙應用
日期:2024年07月18日     新聞分類(lèi): 技術(shù)中心      瀏覽:941次

在創(chuàng )客教育中,3D建模與3D打印是很重要的組成部分。按理說(shuō),3D建模與數學(xué)是息息相關(guān)的,但審視中小學(xué)常用的3D建模軟件,更多的是在考量鼠標操作的熟練程度,幾乎看不出“數學(xué)”體現在哪里。因而,我們希望更多的老師教學(xué)生用“3D程序員”來(lái)建模,力求在“造物”的同時(shí),把數學(xué)知識也用起來(lái)。

要用“3D程序員”設計出具有圓滑曲線(xiàn)表面的模型,肯定離不開(kāi)函數的幫忙。函數幾乎是所有學(xué)生數學(xué)學(xué)習的痛點(diǎn),但建模并不關(guān)注對函數原理的研究,只要知道什么樣的函數能產(chǎn)生什么樣的圖形即可。按照初等數學(xué)和高等數學(xué)兩部分內容,我們分別例舉數學(xué)函數在3D建模中的巧妙應用。

初等數學(xué)中的函數與應用

初等數學(xué)中,學(xué)生能夠學(xué)習到基本的初等函數,如指數函數、對數函數、冪函數、反函數以及三角函數等。

那么,建立3D模型時(shí)可以利用這些函數來(lái)實(shí)現什么功能呢?下面來(lái)看幾個(gè)例子。


1.用拋物線(xiàn)做筆擱

很多立體圖形都可以通過(guò)平面圖形拉伸而成,如立方體?!?D程序員”中的數學(xué)模塊,包含了基本的初等函數?!?D程序員”給拋物線(xiàn)加上“線(xiàn)寬”的屬性,只要用拉伸功能,就能形成一個(gè)立體模型。

筆擱是毛筆書(shū)法中除文房四寶之外,另一不可或缺的物品。很快就會(huì )發(fā)現其中的規律:筆擱主要是由曲線(xiàn)組成,而這段曲線(xiàn)又是不規則的,可以通過(guò)不同的函數方程拼接出來(lái)。

根據不同函數的圖像特點(diǎn),拼接出一個(gè)所需的圖像,函數如下。

f(x)=-x^2+7 x∈[-2.5,0]

g(x)=√(10x+64) x∈[-6.4,-5.3]

h(x)=-(x+3.5)^2 x∈[-5.3,-2.5]


2.用正弦函數設計“激光劍柄”

《星球大戰》作為一部經(jīng)典電影,一直深受“星戰迷”的喜愛(ài)。在電影中,用于近身格斗的激光劍也成為《星球大戰》的象征,制作一把激光劍是很多創(chuàng )客的選擇。除去劍身,最主要的部分當屬劍柄,而激光劍柄需要有流線(xiàn)的外形

分析劍柄的曲線(xiàn)部分,其是利用三角函數中的正弦函數曲線(xiàn)特性,減小自變量的值使曲線(xiàn)變得平滑,周期變大。

公式:f(x)=2.4+sin?(0.35x) x∈[2.5π,7π]

輸入2D函數,利用其他指令和形狀進(jìn)行拼接組合,再利用“旋轉”功能,就可以完成劍柄的制作。在模型中,劍柄還要挖空,用于放入電源及其他電子器件,所以特意開(kāi)了一個(gè)口子,用于安裝控制激光劍效果的“按鈕”。


3.用“心臟線(xiàn)”做吊墜

“心臟線(xiàn)”是一種比較特殊的函數。心形函數有很多種表達式,利用任何函數圖像的特性組合為一個(gè)分段函數形成一個(gè)心形線(xiàn),最終在“3D程序員”中畫(huà)出了心形函數的圖像。

公式:f(x)=√(1-(|x|-1)^2 ) x∈[-2,2]

g(x)=arccos?(1-|x|)-3 x∈[-2,2]

利用“心臟線(xiàn)”可以做一個(gè)心形吊墜,用一個(gè)球與拉伸后的“心臟線(xiàn)”進(jìn)行凸殼處理,即可得到一個(gè)心形的實(shí)體。

需要提醒的是,可以先取“心臟線(xiàn)”的一半(只需改變x的取值范圍)和球的一半,進(jìn)行凸殼處理,之后鏡像翻轉,再進(jìn)行布爾合并即可。


小結

不管是指數函數、冪函數、對數函數還是三角函數,它們都有一個(gè)共同點(diǎn),就是圖像都是曲線(xiàn),更改變量后會(huì )得到無(wú)數種圖形。同時(shí),根據一個(gè)函數圖像,也可以得到該圖像的無(wú)數種表達式。確定和不確定的融合,這就是數學(xué)建模的樂(lè )趣所在。

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作者:龍源期刊網(wǎng)

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